Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện...

Bài 14

a) Cho số phức $z=x+yi$ . Khi $z \ne i$, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức ${{z + i} \over {z - i}}$

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện ${{z + i} \over {z - i}}$ là số thực dương.

Giải

a) Ta có:

   ${{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}} = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i$

Vậy phần thực là ${{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}$, phần ảo là ${{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}$.

b) Với $z \ne i$, ${{z + i} \over {z - i}}$ là số thực dương khi và chỉ khi

$\left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} - 1 > 0 \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {y^2} > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ y > 1 \hfill \cr y < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối $I, J$ ( $I$ biểu diễn $i$ và $J$ biểu diễn $-i$).