Bài 18 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao, Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a....

Bài 18. Tính thể tích của khối lăng trụ $n$-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$.

Gọi ${A_1}{A_2}...{A_n}$ là đáy của khối lăng trụ $n$-giác đều và $O$ là tâm của đáy.
Gọi $I$ là trung điểm của ${A_1}{A_2}$ ta có $OI \bot {A_1}{A_2}$.
Trong $\Delta {A_1}IO$: $\cot \widehat {{A_1}IO} = {{OI} \over {{A_1}I}} \Rightarrow OI = {a \over 2}\cot {\pi  \over n}$.
Diện tích đáy của khối lăng trụ đều là $S = n.{S_{O{A_1}{A_2}}} = n{1 \over 2}a.{a \over 2}\cot {\pi  \over n} = {1 \over 4}n{a^2}\cot {\pi  \over n}$
Chiều cao của khối lăng trụ đều là $a$ nên thể tích của nó là:$V = B.h = {1 \over 4}n{a^3}.\cot {\pi  \over n}$