Bài 50 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Cho tứ diện ABCD có điểm O...

Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng cách r. Gọi ${h_A},{h_B},{h_C},{h_D}$ lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng :

${1 \over r} = {1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}.$

(h.35)

Khối tứ diện ABCD được phân chia thành bốn khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Từ đó dễ thấy rằng :

$\eqalign{  & {{{V_{O.BCD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_A}}},{{{V_{O.CAD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_B}}},  \cr  & {{{V_{O.ABD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_C}}},{{{V_{O.ABC}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_D}}}. \cr}$

Suy ra :

$\eqalign{  & {{{V_{O.BCD}} + {V_{O.CAD}} + {V_{O.ABD}} + {V_{O.ABC}}} \over {{V_{ABCD}}}}\cr& = r\left( {{1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {{{V_{ABCD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = r\left( {{1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {1 \over r} = {1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}. \cr}$