Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = . Đường thẳng BC’ tạo với mp(AA’C’C) một góc . Tính độ dài...

Bài 19. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A, AC = b$. $\widehat {ACB} = {60^0}$. Đường thẳng $BC’$ tạo với mp $(AA’C’C)$ một góc ${30^0}$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AC$.

b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

a) Ta có: $BA \bot AC$ và $BA \bot AA’$ nên $BA \bot \left( {ACC’A’} \right)$
Vậy $AC’$ là hình chiếu của $BC’$ trên mp $(ACC’A’)$ nên $\widehat {AC’B} = {30^0}$
Trong tam giác vuông $BAC’$, ta có: $\cot {30^0} = {{AC’} \over {AB}} \Rightarrow AC’ = AB.cot{30^0} = AC.\tan {60^0}.\cot {30^0} = b\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3b$
b) Trong tam giác vuông $ACC’$, ta có: $CC{‘^2} = AC{‘^2} - A{C^2} = 9{b^2} - {b^2} = 8{b^2} \Rightarrow CC’ = 2\sqrt 2 b$
Diện tích là: ${S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}b\sqrt 3 .b = {{{b^2}\sqrt 3 } \over 2}$
Thể tích khối lăng trụ $V = S.h = {{{b^2}\sqrt 3 } \over 2}.2\sqrt 2 b = {b^3}\sqrt 6$

baitapsgk.com