Bài 49 trang 11 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’...

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.

(h.34)

Gọi M là trung điểm của BB’.

Ta có $A’M//KC$ nên

$\eqalign{  & d\left( {CK,A’D} \right) = d\left( {CK,\left( {A’MD} \right)} \right)  \cr  &  = d\left( {K,\left( {A’MD} \right)} \right). \cr}$

Đặt $d\left( {CK,A’D} \right) = x.$ Ta có

${V_{A’.MDK}} = {V_{K.A’MD}} = {1 \over 3}{S_{A’MD}}.x\;\;\;(1)$

Mặt khác

${V_{A’.MDK}} = {V_{M.A’DK}}$

$= {1 \over 3}{S_{A’DK}}.d\left( {M,\left( {A’DK} \right)} \right)$

$= {1 \over 3}\left( {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right).a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Từ (1) và (2) suy ra : ${S_{A’MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.$

Hạ

$\eqalign{  & DI \bot A’M \Rightarrow AI \bot A’M  \cr  &  \Rightarrow AI.A’M = AA’.d\left( {M,AA’} \right) = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }}  \cr  &  \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}.  \cr  &  \cr}$

Vậy ${S_{A’MD}} = {1 \over 2}DI.A’M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.$

Từ (3) và (4) suy ra $x = {a \over 3}.$