Bài 52 trang 12 Sách bài tập Toán Hình 12 NC: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’...

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ mà đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BD=b, AA’=c$\left( {{c^2} \ge {a^2} + {b^2}} \right).$ Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A và vuông góc với CA’.

a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi $mp\left( P \right).$

b) Tính diện tích thiết diện nói trên.

(h.36)

a) Trong $mp\left( {AA’C’C} \right)$, dựng đường thẳng qua A vuông góc với CA’ lần lượt cắt CA’ và CC’ tại I và M.

Vì $AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \le c$ nên $IC \le IA’,$ do đó M phải thuộc đoạn CC’.

Bây giờ ta tìm giao điểm N và $\left( P \right)$ và BB’. Dễ thấy $AN \bot BC,AN \bot CA’$

$\Rightarrow AN \bot A’B.$ Vậy để tìm N, ta kẻ qua A (trong $mp\left( {A’B’BA} \right)$) đường thẳng vuông góc với A’B cắt B’B tại N.

Vậy thiết diện là tam giác AMN.

b)Ta có : ${V_{A’.AMN}} = {V_{M.AA’N}} = {V_{M.AA’B}} = {V_{C.A’AB}} = {1 \over 6}abc$ (do $NB//AA’,MC// AA’).$

Mặt khác :

${V_{A’.AMN}} = {1 \over 3}.{S_{AMN}}.A’I$

$\Rightarrow {S_{AMN}} = {{3{V_{A’.AMN}}} \over {A’I}} = {{abc} \over {2A’I}}.$

Xét tam giác vuông A’AC ta có :

$A’I.A’C = AA{‘^2} = {c^2} \Rightarrow A’I = {{{c^2}} \over {A’C}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$.

Vậy ${S_{AMN}} = {{ab\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over {2c}}.$