Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao, Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính...

Bài 24. Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AM$, song song với $BD$ chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Gọi $G$ là giao điểm của $SO$ và $AM$ thì $G$ là trọng tâm của tam giác $SAC$ nên ${{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}$.
Mặt phẳng $(P)$ song song với $BD$ nên $(P)$ cắt mp $(SBD)$ theo giao tuyến $B’D’$ đi qua $G$ và $B’D’ // BD$, trong đó $B’, D’$ lần lượt trên $SB$ và $SD$.
có $B’D’ // BD$ nên ${{SB’} \over {SB}} = {{SD’} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}$
Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần: Khối chóp $S.AB’MD’$ và khối đa diện $ABCDB’MD’$.

${{{V_{S.AB’D’}}} \over {{V_{S.ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB’} \over {SB}}.{{SD’} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9} \Rightarrow {{{V_{S.AB’D’}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9}$
(Vì ${V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABD}}$)
${{{V_{S.MB’D’}}} \over {{V_{S.CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB’} \over {SB}}.{{SD’} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9} \Rightarrow {{{V_{S.MB’D’}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 9}$
Từ đó suy ra ${{{V_{S.AB’MD’}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.AB’D’}} + {V_{S.MB’D’}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}$
Vậy ${{{V_{S.AB’MD’}}} \over {{V_{ABCDB’MD’}}}} = {1 \over 2}$