Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d’:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 1 – 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 – 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M’\left( {t’, – 1 – 2t’,2 + t’} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d’\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t,1 + t,2 – t} \right);\overrightarrow {AM’} = \left( { – 1 + t’, – 2t’,1 + t’} \right)\). Do đó:
$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] = \left( {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 – t} \hfill \cr
– 2t’\,\,\,\,\,\,{1 + t’} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 – t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr
{1 + t’}\,\, \,\,{- 1 + t’ }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr
{- 1 + t’}\,\,\,\,{ – 2t’} \hfill \cr} \right|} \right) \cr
& = \left( {1 + t + 5t’ – tt’; – 2 – t + 2t’ – 3tt’;1 + t – t’ – 5tt’} \right) \cr} $$
Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM’} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t’ – tt’ = 0 \hfill \cr
– 2 – t + 2t’ – 3tt’ = 0 \hfill \cr
1 + t – t’ – 5tt’ = 0 \hfill \cr} \right.\)
Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ
\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t’ = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t’ = 0 \hfill \cr} \right.\).
Suy ra \(t = – {3 \over 2};t’ = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { – 3; – {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { – 6; – 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 – 6t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)