Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao, Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng và , biết phương trình của và là:...

Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng ${d_1}$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_2}$ và ${d_3}$, biết phương trình của ${d_1},{d_2}$ và ${d_3}$ là:

${d_1}:\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = {- 2 + 4t} \hfill \cr z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.$
${d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}$
${d_3}:\left\{ \matrix{ x ={ - 4 + 5t’} \hfill \cr y = {- 7 + 9t’} \hfill \cr z = {t’} \hfill \cr} \right.$

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)$, ${d_2}$ có phương trình tham số là

$\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.$

Lấy điểm ${M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)$ trên ${d_2}$ và ${M_3}\left( { - 4 + 5t’; - 7 + 9t’;t’} \right)$ trên ${d_3}$. Ta tìm t và t’ để $\overrightarrow {{M_2}{M_3}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_1}}$.
Ta có $\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { - 5 + 5t’ - t; - 5 + 9t’ - 4t; - 2 + t’ - 3t} \right)$, $\overrightarrow {{M_2}{M_3}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_1}}$ khi và chỉ khi

$\left\{ \matrix{ - 5 + 5t’ - t = 0 \hfill \cr {{ - 5 + 9t’ - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t’ - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t’ = 1 \hfill \cr} \right.$

Khi đó ${M_2}\left( {1; - 2;2} \right)$ và $\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; - 1} \right)$.
Vậy $\Delta$ qua ${M_2},{M_3}$ có phương trình:

$\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = - 2 + 4t \hfill \cr z = 2 - t \hfill \cr} \right.$.

Rõ ràng ${M_2} \notin {d_1}$. Vậy $\Delta$ chính là đường thẳng cần tìm.