a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với và .
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.. Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 31. Cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 – t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 – x} \over 7} = {{y – 1} \over 2} = {{z – 1} \over 3}\).
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; – 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { – 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right):2\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 4\left( {z – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha \right)\). Vậy \(\left( \alpha \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)
d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 – t} \right),\,Q\left( {3 – 7t’\,;\,1 + 2t’\,;\,1 + 3t’} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { – 5 – 7t’ – t; – 4 + 2t’ – 2t; – 7 + 3t’ + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 5 – 7t’ – t + 2\left( { – 4 + 2t’ – 2t} \right) – \left( { – 7 + 3t’ + t} \right) = 0 \hfill \cr
– 7\left( { – 5 – 7t’ – t} \right) + 2\left( { – 4 + 2t’ – 2t} \right) + 3\left( { – 7 + 3t’ + t} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 6t’ – 6t = 6 \hfill \cr
62t’ + 6t = – 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t’ = 0 \hfill \cr
t = – 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:
\({{x – 3} \over {7 – 3}} = {{y – 1} \over {3 – 1}} = {{z – 1} \over {9 – 1}} \Leftrightarrow {{x – 3} \over 2} = {{y – 1} \over 1} = {{z – 1} \over 4}\)