Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho đường...

Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho đường thẳng d và mặt phẳng có phương trình: . Tìm góc giữa d và . b) Tìm tọa độ giao điểm...

Cho đường thẳng d và mặt phẳng có phương trình:
.
a) Tìm góc giữa d và .
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và .
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên .. Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 32. Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình:

\(d:{{x – 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z – 1} \over 5}\,\,;\,\,\left( \alpha  \right):2x + y + z – 8 = 0\).
a) Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\).
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha  \right)\).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha  \right)\).

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;3;5} \right)\), \(mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\) thì \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và
\(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\).
b) d có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = – 1 + 3t \hfill \cr
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\) ta có:

\(2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { – 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}\)

Advertisements (Quảng cáo)

Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)\).
c) Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) thì hình chiếu d’ của d trên \(\left( \alpha  \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\). Bởi vậy ta cần tìm phương trình của \(\left( \beta  \right)\). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { – 2;8; – 4} \right)\). Ngoài ra, \(\left( \beta  \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; – 1;1} \right)\). Do đó \(\left( \beta  \right)\) có phương trình:
\( – 2\left( {x – 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) – 4\left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  – x + 4y – 2z + 8 = 0\).
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\, – 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
– 2\,\,\,\,\, – 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
– 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( { – 6;3;9} \right) = 3\left( { – 2;1;3} \right)\)

Vậy d’ có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} – 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\)