Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các...

Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các phương trình sau trên C:...

Giải các phương trình sau trên C. Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao - Ôn tập chương IV - Số phức

Bài 39. Giải các phương trình sau trên C:

\(\eqalign{  & a)\,{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0;  \cr  & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0; \cr} \)

\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:

                        \(\eqalign{  & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} =  - 4 = 4{i^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr  {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr  z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = 3i \hfill \cr  z =  - i \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)

b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} =  - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} =  - 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  - z + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z =  - 3 + 2i \Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)

Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)

                                    \( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)

\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)

\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{  {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 - 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 - 2i\) và \({z_2} =  - 1 + i\).

Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} =  - 1 - i\)

Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: