Bài 40. Xét các số phức: \({z_1} = \sqrt 6 – i\sqrt 2 ;\,\,{z_2} = – 2 – 2i;\,\,\,{z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\)
a) Viết \({z_1};\,{z_2};\,{z_3}\) dưới dạng lượng giác;
b) Từ câu a) hãy tính \(\cos {{7\pi } \over {12}}\) và \(\sin {{7\pi } \over {12}}\).
\(\eqalign{ & a)\;\;z_1=\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – i} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6}} \right)} \right], \cr & {z_2} = 2\left( { – 1 – i} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { – {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {{3\pi } \over 4}} \right)} \right], \cr & {z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}} = \cos \left( { – {\pi \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 6} + {{3\pi } \over 4}} \right) = \cos \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) + i\sin \left( {{{7\pi } \over {12}}} \right) \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Mặt khác \({{{z_1}} \over {{z_2}}} = {{\sqrt 6 – i\sqrt 2 } \over { – 2 – 2i}} = {{\left( {\sqrt 6 – i\sqrt 2 } \right)\left( { – 2 + 2i} \right)} \over 8} = {{ – \sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4} + {{\sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4}i\) nên so sánh với kết quả câu a), suy ra:
\(\cos {{7\pi } \over {12}} = {{ – \sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4};\,\sin {{7\pi } \over {12}} = {{\sqrt 6 + \sqrt 2 } \over 4}\)