Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao,Khảo sát sự...

Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao,Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H)...

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số:
b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).. Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao - Bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Bài 63

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((H)\) của hàm số: \(y = {{x + 2} \over {2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng đường thẳng \(y = mx + m - 1\) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)

+) Sự biến thiên:

\(y’ = {{ - 3} \over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ + }}  =  + \infty \)

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: \(x={ - {1 \over 2}}\)

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  = {1 \over 2}\)

Tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Advertisements (Quảng cáo)

Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \((-2;0)\)

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\) 

b) Ta có \(y = mx + m - 1 \Leftrightarrow y + 1 = m\left( {x + 1} \right)\)

Tọa độ điểm cố định \(A\) của đường thẳng là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x + 1 = 0 \hfill \cr
y + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A(-1;1)\)

Tọa độ \(A\) thỏa mãn phương trình \(y = {{x + 2} \over {2x + 1}}\) nên \(A\) thuộc đường cong \((H)\).

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong \((H)\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \,\,\,m\left( {x + 1} \right) - 1 = {{x + 2} \over {2x + 1}} \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left[ {m\left( {x + 1} \right) - 1} \right] = x + 2 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right) = x + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
f\left( x \right) = 2mx + m - 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hai nhánh của \((H)\) nằm về hai bên của tiệm cận đứng \(x =  - {1 \over 2}\)

Điểm \(A(-1;1)\) thuộc nhánh trái của \((H)\) vì \({x_A} =  - 1 <  - {1 \over 2}\)

Đường thẳng cắt \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(x <  - {1 \over 2}\) và \(x \ne  - 1\) tức

\(\left\{ \matrix{
x \ne 0 \hfill \cr
x = {{ - m + 3} \over 2} < - {1 \over 2} \hfill \cr
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \ne 0 \hfill \cr
{3 \over {2m}} < 0 \hfill \cr
- m - 3 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 3\,\, \text{hoặc}\, - 3 < m < 0.\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: