Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) y=x4−2x2+1 ; b) y = sin2x – x;
c)y = sinx + cosx; d)y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1.
a) y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1) ;
y’ = 0 ⇔ 4x(x^2 - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1.
y” = 12x^2-4.
y”(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0,
ycđ = y(0) = 1.
y”(\pm 1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = \pm1,
yct = y(\pm1) = 0.
b) y’ = 2cos2x - 1 ;
y’=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi
\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .
y” = -4sin2x .
y”\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0 nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = \frac{\pi }{6}+ kπ,
ycđ = sin(\frac{\pi }{3}+ k2π) - \frac{\pi }{6} - kπ = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}- kπ , k ∈\mathbb Z.
y”\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =-\frac{\pi }{6}+ kπ,
Advertisements (Quảng cáo)
yct = sin(-\frac{\pi }{3}+ k2π) + \frac{\pi }{6} - kπ =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ , k ∈\mathbb Z.
c) y = sinx + cosx = \sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right );
y’ =\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right ) ;
y’=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrowx+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .
y”=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).
y”\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )
=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )
=\left\{ \matrix{ - \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x=\frac{\pi }{4}+k2\pi,
đạt cực tiểu tại các điểm x=\frac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).
d) y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2); y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1.
y”{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x.
y”(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,
yct = y(1) = -1.
y”(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1,
ycđ = y(-1) = 3.