Bài 3 trang 18 giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x=0...

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{\left | x \right |}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Đặt $y=f(x)=\sqrt{\left | x \right |}$. Giả sử $x > 0$, ta có :

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .$

Do đó hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ vì $f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f(0),\forall x\in\mathbb R$.