Bài 5 trang 10 sách sgk giải tích 12- Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $tanx > x$ $(0 < x < \frac{\pi }{2})$;

b) $tanx > x + \frac{x^{3}}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})$.

a) Xét hàm số $y = f(x) = tanx – x$ với $x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})$.

Ta có : $y’$ = $\frac{1}{cos^{2}x} - 1 ≥ 0$, $x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})$; $y’ = 0 ⇔ x = 0$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên $(0 ; \frac{\pi }{2})$.

Từ đó $∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})$ thì $f(x) > f(0)$

$⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0$ hay $tanx > x$.

b) Xét hàm số $y = g(x) = tanx – x$ - $\frac{x^{3}}{3}$. với $x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})$.

Ta có : $y’ = \frac{1}{cos^{2}x} - 1 -x^2$=$1 + {\tan ^2}x - 1 - {x^2} = (ta{n^2}x - {x^2})$

                                     = $(tanx - x)(tanx + x)$,  $∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2} )$.

Vì $∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})$ nên $tanx +x ≥ 0$ và $tanx - x >0$ (theo câu a).

Do đó $y’ ≥ 0, ∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2})$.

         Dễ thấy $y’ = 0 ⇔ x = 0$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0 ; $\frac{\pi }{2}$). Từ đó : $∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})$ thì $g(x) > g(0)$$⇔ tanx – x - \frac{x^{3}}{3}$ $> tan0 - 0 - 0 = 0$ hay $tanx > x + \frac{x^{3}}{3}$.