Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(tanx > x\) \((0 < x < \frac{\pi }{2})\);
b) \(tanx > x + \frac{x^{3}}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\).
a) Xét hàm số \(y = f(x) = tanx – x\) với \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\).
Ta có : \(y’\) = \(\frac{1}{cos^{2}x} - 1 ≥ 0\), \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\); \(y’ = 0 ⇔ x = 0\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên \((0 ; \frac{\pi }{2})\).
Từ đó \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) thì \(f(x) > f(0)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0\) hay \(tanx > x\).
b) Xét hàm số \(y = g(x) = tanx – x\) - \(\frac{x^{3}}{3}\). với \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\).
Ta có : \(y’ = \frac{1}{cos^{2}x} - 1 -x^2\)=\(1 + {\tan ^2}x - 1 - {x^2} = (ta{n^2}x - {x^2})\)
= \((tanx - x)(tanx + x)\), \(∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2} )\).
Vì \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) nên \(tanx +x ≥ 0\) và \(tanx - x >0\) (theo câu a).
Do đó \(y’ ≥ 0, ∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2})\).
Dễ thấy \(y’ = 0 ⇔ x = 0\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0 ; \(\frac{\pi }{2}\)). Từ đó : \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) thì \(g(x) > g(0) \)\(⇔ tanx – x - \frac{x^{3}}{3}\) \(> tan0 - 0 - 0 = 0\) hay \( tanx > x + \frac{x^{3}}{3}\).