Bài 6 trang 18 sách sgk giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m...

Bài 6. Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^{2}+mx+1}{x+m}$ đạt cực đại tại $x = 2$.

Tập xác định : $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};$

$y’=\frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.$

Nếu hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ thì $y'(2) = 0$ $⇔ {m^{2}} + {\rm{ }}4m{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0$$⇔ m=-1$ hoặc $m=-3$

- Với $m = -1$,  ta có : $y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};$

$y’=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y’=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại $x = 2$.

- Với $m = -3$, ta có: $y=\frac{x^{2}3x+1}{x-3};$

$y’=\frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y’=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \\ x\neq 3 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.

Vậy $m = -3$ là giá trị cần tìm.