Bài 8 trang 44 sách sgk giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 8. Cho hàm số $y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 - m$ (m là tham số) có đồ thị là (C_m).

a) Xác định $m$ để hàm số có điểm cực đại là $x=-1$.

b) Xác định $m$ để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại $x=-2$.

Hướng dẫn giải:

 a) $y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x = x\left[ {3x + 2(m + 3)} \right]$;

$y’ = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0$ hoặc ${x_2} =  - {{2m + 6} \over 3}$

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của $y’$:

Trường hợp 1: $x_1<x_2$

Bảng biến thiên:

Trường hợp này hàm số đạt cực đại tại $x=0$ do đó trường hợp này loại.

Trường hợp 2: $x_2<x_1$

Bảng biến thiên:

Để hàm số có điểm cực đại tại $x = -1$ ta phải có

 ${x_2} =  - {{2m + 6} \over 3} =  - 1 \Leftrightarrow m =  - {3 \over 2}$

(Chú ý : trường hợp $x_1= x_2$ thì hàm số không có cực trị).

b) (C_m) cắt $Ox$ tại $x = -2$$⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0 ⇔$ $m =  - {5 \over 3}$.