Bài 8 trang 44 sách sgk giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 8. Cho hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 - m\) (m là tham số) có đồ thị là (C_m).

a) Xác định \(m\) để hàm số có điểm cực đại là \(x=-1\).

b) Xác định \(m\) để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại \(x=-2\).

Hướng dẫn giải:

 a) \(y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x = x\left[ {3x + 2(m + 3)} \right]\);

\(y’ = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0\) hoặc \({x_2} =  - {{2m + 6} \over 3}\)

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của \(y’\):

Trường hợp 1: \(x_1<x_2\)

Bảng biến thiên:

Trường hợp này hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) do đó trường hợp này loại.

Trường hợp 2: \(x_2<x_1\)

Bảng biến thiên:

Để hàm số có điểm cực đại tại \(x = -1\) ta phải có

 \({x_2} =  - {{2m + 6} \over 3} =  - 1 \Leftrightarrow m =  - {3 \over 2}\)

(Chú ý : trường hợp \(x_1= x_2\) thì hàm số không có cực trị).

b) (C_m) cắt \(Ox\) tại \(x = -2\)\( ⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0 ⇔\) \(m =  - {5 \over 3}\).