Bài 9 trang 44 sách sgk giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 9. Cho hàm số \(y=\frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}\) (m là tham số) có đồ thị là \((G)\).

a) Xác định \(m\) để đồ thị \((G)\) đi qua điểm \((0 ; -1)\).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m\) tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Hướng dẫn giải:

a) \((0 ; -1) ∈ (G) ⇔\)\(-1=\frac{(m+1)\cdot 0-2m+1}{0-1}\Leftrightarrow m=0.\)

b) \(m = 0\) ta được hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\)  (G₀).

Tập xác định: \(D=\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\}\)

* Sự biến thiên: 

\(y’ = {{ - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

    \(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \cr} \)

Tiệm cận đứng là: \(x=1\), tiệm cận ngang là: \(y=1\)

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại \((-1;0)\), trục \(Oy\) tại \((0;-1)\)

Đồ thị hàm số nhận \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.

c) (G₀) cắt trục tung tại \(M(0 ; -1)\). 

\(y’=\frac{-2}{(x-1)^{2}}\Rightarrow y'(0) = -2\).

Phương trình tiếp tuyến của (G₀) tại \(M\) là : \(y - (-1) = y'(0)(x - 0) ⇔ y= -2x - 1\).