Bài tập 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $∫xln(1+x)dx$;             b) $\int {({x^2} + 2x + 1){e^x}dx}$

c) $∫xsin(2x+1)dx$;         d) $\int (1-x)cosxdx$

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt $u= ln(1+x)$

     $dv= xdx$    

$\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx$ ,  $v=\frac{x^{2}-1}{2}$

Ta có: $∫xln(1+x)dx = \frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)$$-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)$

                             $=\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C$

b) Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:

Đặt $u = ({x^2} + 2x - 1)$ và $dv=e^xdx$

Suy ra $du = (2x+2)dx$, $v=e^x$

. Khi đó:

$\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx}$ = $({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}$ - $\int {(2x + 2){e^x}dx}$

Đặt : $u=2x+2$; $dv={e^x}dx$

 $\Rightarrow du = 2dx ;v={e^x}$

Khi đó: $\int {(2x + 2){e^x}dx}$$= {(2x + 2){e^x}}$$- 2\int {{e^x}dx}$$= {\rm{ }}{e^x}\left( {2x + 2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2{e^x} + C$

Vậy: $\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} ={e^x}({x^2} - 1){\rm{ }} + {\rm{ }}C$

c) Đáp số: $-\frac{x}{2}cos (2x+1)+ \frac{1}{4}sin(2x+1)+C$

HD: Đặt $u=x$; $dv = sin(2x+1)dx$

d) Đáp số : $(1-x)sinx - cosx +C$.

HD: Đặt $u = 1 - x$  ;$dv = cosxdx$