Câu hỏi 4 trang 95 Giải tích lớp 12: Hãy chứng minh Tính chất 3....

Hãy chứng minh Tính chất 3.

- Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)$.

- Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)$.

Ta có $f\left( x \right) = F’\left( x \right),g\left( x \right) = G’\left( x \right)$.

Suy ra $\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}$ $= \int {\left[ {F’\left( x \right) \pm G’\left( x \right)} \right]dx}$ $= \int {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left( x \right)} \right]’dx}$ $= F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C$

Lại có $\int {f\left( x \right)dx}  \pm \int {g\left( x \right)dx}$ $= \int {F’\left( x \right)dx}  \pm \int {G’\left( x \right)dx}$ $= F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C$.

Vậy $\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  \pm \int {g\left( x \right)dx}$ (đpcm)