Bài tập 3 trang 101- SGK Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 3. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  $∫{(1-x)}^9dx$   (đặt $u =1-x$ ) ;

b)  $∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx$ (đặt $u = 1 + x^2$ )

c)  $∫cos^3xsinxdx$   (đặt $t = cosx$)

d)  $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$    (đặt $u= e^x+1$)

Hướng dẫn giải:

a) Cách 1: Đặt $u = 1 - x \Rightarrow du= -dx$. Khi đó ta được  $-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C$

Suy ra $\int(1-x)^{9}dx=-\frac{(1-x)^{10}}{10}+C$

Cách 2: $\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx =  - \smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}}d\left( {1 - x} \right)=$  $-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C$

b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.

Cách 2:  $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$ = $\frac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})$

                                          = $\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C$ = $\frac{1}{5}.(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C$

c)$∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)$

$= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C$

d)  $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$ =  $\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx$=  $\int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx$

     =$\frac{-1}{e^{x}+1} + C$.