Bài 4. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\) ; b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)
c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\) ; d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\)
Hướng dẫn giải:
a) Đặt \(u=x+1\); \(dv=sinxdx\) \(\Rightarrow du = dx ;v = -cosx\). Khi đó:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\)
\(=1 +sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\)
b)\(\frac{1}{9}(2e^{3}+1)\). HD: Đặt u = ln x ,dv = x2dx
c) Đặt
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& u = \ln x \Rightarrow du = {1 \over x}dx \cr
& dv = {x^2}dx \Rightarrow v = {{{x^3}} \over 3} \cr} \)
Do đó ta có:
\(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = {{{x^3}} \over 3}.lnx\left| {_1^e - \int\limits_1^e {{{{x^3}} \over 3}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left[ {{{{x^3}} \over 9}} \right]} \left| {_1^e} \right.} \right.}\)\( = {{{e^3}} \over 3} - {{{e^3} - 1} \over 9} = {{2{e^3} + 1} \over 9}\)
d) Ta có :
\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{x}dx= \int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}dx\)\(-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)
Đặt \(u= {x^2} - 1\); \(dv{\rm{ }} = {\rm{ }}{e^{ - x}}dx\) \(\Rightarrow du = 2xdx ;v = -e^{-x}\) Khi đó :
\(\int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}=-e^{-x}(x^{2}-1)|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\)
\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)
Vậy : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\) =\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) = -1