Câu hỏi 1 trang 101 SGK Giải tích 12: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1,...

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

3. Chứng minh rằng $S(t)$ là một nguyên hàm của $f(t)=2t+1, t\in [1;5]$ và diện tích $S=S(5)-S(1)$.

Dựa vào công thức tính diện tích hình thang $ABCD (AB//CD)$ là:$S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}$

1.(Hình 46)

Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1,3) và (5,11).

- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang:

$\displaystyle ABCD = {{(AB + CD).AD} \over 2} = 28$

2.(Hình 45)

Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = t với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó ta có B (1,3) và C(t, 2t + 1).

- Ta có AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.

- Khi đó diện tích hình thang:

$\displaystyle S(t) = {{(AB + CD).AD} \over 2} = {{(3 + 2t + 1).(t - 1)} \over 2}$ $= {t^2} + t - 2$

Do đó $S(t)= {t^2} + t - 2$

3. Vì $S'(t)= ({t^2} + t - 2)’$ $=2t+1$ nên hàm số $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t)=2t+1, t\in [1;5]$.

Dễ thấy $S(5)-S(1)=\left( {{5^2} + 5 - 2} \right) - \left( {{1^2} + 1 - 2} \right) = 28 = S$ hay $S=S(5)-S(1)$.