Bài tập 3 trang 113 - Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) $\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$      (Đặt $u= x+1$) 

b) $\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx$       (Đặt $x = sint$ )

c) $\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx$    (Đặt $u = 1 + x.{e^x}$)

d)$\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$    (Đặt $x= asint$)

Hướng dẫn giải:

a) Đặt $u= x+1 \Rightarrow  du =  dx$ và $x = u - 1$.

Khi $x =0$ thì $u = 1, x = 3$ thì $u = 4$. Khi đó :

$\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$ = $\int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du$

= $(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4.u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=\frac{5}{3}$

b) Đặt $x = sint$, $0<t<\frac{\pi}{2}$. Ta có: $dx = costdt$

và $\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.$

Khi $x = 0$ thì $t = 0$, khi $x = 1$ thì  $t= \frac{\pi}{2}$ . Khi đó:

$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}tdt= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+cos2t)dt$

$=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)= \frac{\pi}{4}$

c) Đặt: $t = 1 + x{e^x} \Rightarrow dt = {e^x}(1 + x)dx$

Khi $x = 0 \Rightarrow t = 1$

Khi $x = 1 \Rightarrow t = 1 + e$

Do đó ta có:

$\int\limits_0^1 {{{{e^x}(1 + x)} \over {1 + x{e^x}}}dx = \int\limits_1^{1 + e} {{{dt} \over t} = {\rm{[}}\ln |t|{\rm{]}}} } \left| {_1^{1 + e} = \ln (1 + e)} \right.$.

d) Đặt $x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt$

Đổi cận:

$\eqalign{ & x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr & x = {a \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} \cr}$

Do đó ta có:

$\int\limits_0^{{a \over 2}} {{1 \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{a\cos tdt} \over {\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }} = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {dt = t\left| {_0^{{\pi  \over 6}} = {\pi  \over 6}} \right.} } }$.