Câu hỏi 5 trang 89 SGK Hình học 12: Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian...

Tìm số giao điểm của mặt phẳng $(α): x + y + z - 3 = 0$ với đường thẳng $d$ trong các trường hợp sau:

$\eqalign{ & a)\,\,d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 3 - t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right. \cr & b)\,\,d:\left\{ \matrix{ x = 1+2t \hfill \cr y = 1 - t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right. \cr & c)\,\,d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 5t \hfill \cr y = 1 - 4t \hfill \cr z = 1 + 3t \hfill \cr} \right. \cr}$

Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0$.

Xét phương trình $A\left( {{x_0} + {a_1}t} \right) + B\left( {{y_0} + {a_2}t} \right) + C\left( {{z_0} + {a_3}t} \right) = 0$

+) Nếu phương trình có nghiệm duy nhất $t$ thì $d$ cắt $\left( \alpha  \right)$.

+) Nếu phương trình vô nghiệm thì $d$ song song $\left( \alpha  \right)$.

+) Nếu phương trình vô số nghiệm thì $d$ nằm trong $\left( \alpha  \right)$.

a) Xét phương trình: $(2 + t) + (3 - t) + 1 – 3 = 0$

$⇔ 3 = 0$ (vô nghiệm) ⇒ mặt phẳng $(α)$ và $d$ không có điểm chung.

b) Xét phương trình: $(1 + 2t) + (1 - t) + (1 - t) – 3 = 0$

$⇔ 0 = 0$ (vô số nghiệm) $⇒ d \subset (α)$.

c) Xét phương trình: $(1 + 5t) + (1 - 4t) + (1 + 3t) – 3 = 0$

$⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0$ ⇒ mặt phẳng $(α)$ và $d$ có $1$ điểm chung.