1, Nguyên hàm và tính chất
ĐỊNH NGHĨA
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
ĐỊNH LÍ
1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.
2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx
Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.
Tính chất của nguyên hàm:
∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.
∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)
∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:
|
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của hàm số tổ hợp |
|
\(\int\)0dx = C \(\int\)dx = x + C \(\int\)\(x^{\alpha }\)dx = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) +C (\(\alpha\)≠ -1) \(\int\)\(\frac{1}{x}\)dx =ln\(\left | x \right |\) +C \(\int\)\(e^{x}\)dx = \(e^{x}\) +C Advertisements (Quảng cáo) \(\int\)\(a^{x}\)dx = \(\frac{a^{x}}{lna}\) + C (a>0, a ≠ 1) \(\int\)cosxdx = sinx + C \(\int\)sinxdx = - cosx + C \(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}x)}\)dx = tanx + C \(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}x)}\)dx = cotx + C |
\(\int\)0du = C \(\int\)du= u +C \(\int\)\(u^{\alpha }\)du = \(\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) + C \(\int\)\(\frac{1}{u}\)du = ln \(\left | u\right |\) + C \(\int\)\(e^{u}\)du = \(e^{u}\) +C \(\int\)\(a^{u}\)đủ = \(\frac{a^{u}}{lna}\) + C> \(\int\)cosudu = sinu + C sinudu = -cosu +C du= tanu +C du =cotu +C |
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp biến đổi số
Định lí 1. Nếu f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f(u(x))(x) = F(u(x)) + C
Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có f(ax+b)dx = F(ax+b) + C