1, Nguyên hàm và tính chất
ĐỊNH NGHĨA
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
ĐỊNH LÍ
1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.
2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx
Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.
Tính chất của nguyên hàm:
∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.
∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)
∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:
|
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của hàm số tổ hợp |
|
∫0dx = C ∫dx = x + C ∫xαdx = xα+1α+1 +C (α≠ -1) ∫1xdx =ln|x| +C ∫exdx = ex +C Advertisements (Quảng cáo) ∫axdx = axlna + C (a>0, a ≠ 1) ∫cosxdx = sinx + C ∫sinxdx = - cosx + C ∫1(cos2x)dx = tanx + C ∫1(sin2x)dx = cotx + C |
∫0du = C ∫du= u +C ∫uαdu = uα+1α+1 + C ∫1udu = ln |u| + C ∫eudu = eu +C ∫auđủ = aulna + C> ∫cosudu = sinu + C sinudu = -cosu +C du= tanu +C du =cotu +C |
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp biến đổi số
Định lí 1. Nếu f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f(u(x))(x) = F(u(x)) + C
Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có f(ax+b)dx = F(ax+b) + C