Bài tập 1 trang 100-SGK Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 1.Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a)  $e^{-x}$ và $-  e^{-x}$;                             b) $sin2x$ và $sin^2x$ 

c) $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$  và $(1-\frac{4}{x})e^{x}$

:

a) $e^{-x}$ và $-  e^{-x}$ là nguyên hàm của nhau, vì:

$({e^{ - x}})’= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)=  - {e^{ - x}}$  và $( - {e^{ - x}})’ = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}$

b)  $sin^2x$   là nguyên hàm của $sin2x$, vì:

$\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)’ = 2sinxcosx = sin2x$

c) $(1-\frac{4}{x})e^{x}$ là một nguyên hàm của $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$  vì:

$({(1-\frac{4}{x})e^{x})}’$ = $\frac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\frac{4}{x})e^{x}$   = $\left (1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2}} \right )e^{x}$ = $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$