Cho tam giác MNP có MN = MP. Gọi E là trung điểm của MN, F là trung điểm của MP. Gọi I là giao điểm của NF và PE. Chứng minh rằng:
a) ΔMEP=ΔMFN
b) ΔIEN=ΔIFP
c) MI là phân giác của góc NMP.
d) EF // NP.
a)Ta có: ME=NE=MN2 (F là trung điểm của MN)
MF=PF=MP2 (F là trung điểm của NP)
Mà MN = MP (giả thiết) nên ME = NE = MF = PF.
Xét tam giác MEP và MFN có:
ME = MF (chứng minh trên)
^EMP là góc chung
MP = MN (giả thiết)
Do đó: ΔMEP=ΔMFN(c.g.c)
b)Ta có: ΔMEP=ΔMFN (chứng minh câu a) ⇒^MEP=^MFN;^MPE=^MNF
^MEP+^NEP=^MFN+^NFP(=1800)
Mà ^MEP=^MFN (chứng minh trên) do đó: ^NEP=^NFP.
Xét tam giác IEN và IFP có:
^IEN=^IFP (chứng minh trên)
EN = EP (chứng minh câu a)
^ENI=^FPI(ΔMEP=ΔMFN)
Do đó: ΔIEN=ΔIFP(g.c.g)
Advertisements (Quảng cáo)
c) Xét tam giác MIN và MIP có:
MI là cạnh chung
MN = MP (giả thiết)
NI = PI (ΔIEN=ΔIFP)
Do đó: ΔMIN=ΔMIP(c.c.c)⇒^IMN=^IMP
Vậy MI là tia phân giác của góc NMP.
d) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của MI với EF, NP.
Xét tam giác MHE và MHF có:
ME = MF
^HME=^HMF (chứng minh trên)
MH là cạnh chung.
Do đó: ΔMHE=ΔMHF(c.g.c)⇒^MHE=^MHF
Mà ^MHE+^MHF=1800 (kề bù) nên ^MHE+^MHE=1800
⇒2^MHE=1800⇒^MHE=900⇒MH⊥EFhayMK⊥EF
Xét tam giác MKN và MKP có:
MN = MP (gt)
^KMN=^KMP(cmt)
Mk là cạnh chung.
Do đó: ΔMKN=ΔMKP(c.g.c)⇒^MKN=^MKP
Mà ^MKN+^MKP=1800 (kề bù) nên ^MKN+^MKN=1800.
⇒2^MKN=1800⇒^MKN=900⇒MK⊥NP
Ta có: EF⊥MK;NP⊥MK. Vậy EF // NP.
Loigiaihya.com