Bài tập 3 trang 120 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2, Cho tam giác nhọn ABC. Trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG....

Cho tam giác nhọn ABC. Trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh : AF = 2FI.

a) Xét ∆BMG và ∆CME ta có

BM = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat {BMG} = \widehat {CME}$ (hai góc đối đỉnh)

Và GM = ME (gt)

Do đó: ∆BMG = ∆CME (c.g.c) $\Rightarrow \widehat {BGM} = \widehat {CEM}$

Mà $\widehat {BGM}$ và $\widehat {CEM}$ ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) ∆ABC có hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G (gt)

=> G là trọng tâm của ∆ABC $\Rightarrow AG = {2 \over 3}AM$

Mà AG + GM = AM. Do đó $GM = {1 \over 3}AM.$ Nên AG = 2GM.

Mà MG = ME => AG = GE. Vậy G là trung điểm của AE.

∆ABE có: BG và AI cắt nhau tại F (gt)

AI là đường trung tuyến (I là trung điểm của BE)

Và BG là đường trung tuyến (G là trung điểm của AE)

Do đó F là trọng tâm của tam giác ABE $\Rightarrow AF = {2 \over 3}AI$

Mà AF + FI = AI; $FI = AI - {2 \over 3}AI = {1 \over 3}AI.$ Nên AF = 2FI.