Cho tam giác ABC cân tại A. Trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BM = CN
b) Chứng minh tam giác BHC cân.
c) Cho biết AH = 8 cm, BC = 18 cm. Tính AB.
a) Ta có: \(AN{\rm{ }} = {\rm{ }}BN{\rm{ }} = {{AB} \over 2}\) (N là trung điểm của AB)
\(AM = MC = {{AB} \over 2}\) (M là trung điểm của AC)
AB = AC (∆ABC cân tại A)
Do đó AN = AM = BN = MC.
Xét ∆BMA và ∆CNA ta có: AB = AC (∆ABC cân tại A)
\(\widehat {BAM}\) chung
AM = AN
Do đó: ∆BMA = ∆CAN (c.g.c) => BM = CN.
b) Xét ∆BMC và ∆CNB ta có: BC (cạnh chung)
MC = BN
BM = CN (câu a)
Do đó: ∆BMC = ∆CNB (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {HCB}\). Vậy ∆BHC cân tại H.
c) Gọi I là giao điểm của AH và BC
∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H (gt)
=> H là trọng tâm của ∆ABC
=> AI là đường trung tuyến của ∆ABC (vì AI đi qua H)
Ta có \(AH = {2 \over 3}AI \Rightarrow AI = {3 \over 2}AH = {3 \over 2}.8 = 12(cm)\)
Vì I là trung điểm của BC \( \Rightarrow BI = {{BC} \over 2} = {{18} \over 2} = 9(cm)\)
∆ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến
Nên AI là đường cao \( \Rightarrow AI \bot BC\) tại I
Xét ∆ABI vuông tại I => AB2 = AI2 + BI2 (định lí Pythagore)
Nên AB2 = 122 + 92 = 225.
Do đó AB2 = 152. Vậy AB = 15 (cm).