Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.
a) Chứng minh tam giác AKC bằng tam giác BHA.
b) Gọi I là giao điểm của Am với CK. Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với AC.
c) Chứng minh KM là tia phân giác góc HKI.
a) Ta có: ^BAH+^DAC=90∘(^BAC=90∘)
^ACK+^DAC=90∘ (∆AKC vuông tại K)
Do đó ^BAH=^ACK
Xét ∆AKC (^AKC=90∘) và ∆BHA (\)\widehat {BHA} = 90^\circ\)) có:
AC = AB (∆ABC vuông cân ở A)
Và ^ACK=^BAH
Do đó: ∆AKC = ∆BHA (cạnh huyền – góc nhọn).
b) ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (gt).
=> AM là đường cao của tam giác ABC. Vậy AM⊥BC tại M.
Advertisements (Quảng cáo)
∆AIC có: AK là đường cao (AK⊥CI tại K)
CM là đường cao (CM⊥AI tại M)
AK cắt CM tại D (gt)
Do đó D là trực tâm của ∆AIC => ID là đường cao của ∆AIC. Vậy DI⊥AC.
c) ∆AMC vuông tại M (AM⊥BC tại M) có ^ACM=45∘ (∆ABC vuông cân tại A)
=> ∆AMC vuông cân tại M => AM = CM
Xét ∆AMH và ∆CMK có AM = CM
^MAH=^MCK (cùng phụ với góc AIK)
AH = CK (∆AKC = ∆BHA)
Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c) => MH = MK, ^AMH=^CMK
Ta có ^HMK=^HMC+^CMK=^HMC+^AMH=^AMC=90∘
∆MHK vuông tại M có MH = MK.
=> ∆MHK vuông cân tại M ⇒^MHK=45∘. Mà^MKH+^MKI=^AKI=90∘
Nên ^MKI=90∘−^MKH=90∘−45∘=45∘
Ta có ^MKI=^MKH(=45∘).Vậy KM là tia phân giác góc HKI.