Bài tập 37 trang 125 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2, Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu...

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.

a) Chứng minh tam giác AKC bằng tam giác BHA.

b) Gọi I là giao điểm của Am với CK. Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với AC.

c) Chứng minh KM là tia phân giác góc HKI.

a) Ta có: $\widehat {BAH} + \widehat {DAC} = 90^\circ (\widehat {BAC} = 90^\circ )$

$\widehat {ACK} + \widehat {DAC} = 90^\circ$ (∆AKC vuông tại K)

Do đó $\widehat {BAH} = \widehat {ACK}$

Xét ∆AKC ($\widehat {AKC} = 90^\circ$) và ∆BHA (\)\widehat {BHA} = 90^\circ\)) có:

AC = AB (∆ABC vuông cân ở A)

Và $\widehat {ACK} = \widehat {BAH}$

Do đó: ∆AKC = ∆BHA (cạnh huyền – góc nhọn).

b) ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (gt).

=> AM là đường cao của tam giác ABC. Vậy $AM \bot BC$ tại M.

∆AIC có: AK là đường cao ($AK \bot CI$ tại K)

CM là đường cao ($CM \bot AI$ tại M)

AK cắt CM tại D (gt)

Do đó D là trực tâm của ∆AIC => ID là đường cao của ∆AIC. Vậy $DI \bot AC.$

c) ∆AMC vuông tại M ($AM \bot BC$ tại M) có $\widehat {ACM} = 45^\circ$ (∆ABC vuông cân tại A)

=> ∆AMC vuông cân tại M => AM = CM

Xét ∆AMH và ∆CMK có AM = CM

$\widehat {MAH} = \widehat {MCK}$ (cùng phụ với góc AIK)

AH = CK (∆AKC = ∆BHA)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c) => MH = MK, $\widehat {AMH} = \widehat {CMK}$

Ta có $\widehat {HMK} = \widehat {HMC} + \widehat {CMK} = \widehat {HMC} + \widehat {AMH} = \widehat {AMC} = 90^\circ$

∆MHK vuông tại M có MH = MK.

=> ∆MHK vuông cân tại M $\Rightarrow \widehat {MHK} = 45^\circ$. Mà$\widehat {MKH} + \widehat {MKI} = \widehat {AKI} = 90^\circ$

Nên $\widehat {MKI} = 90^\circ  - \widehat {MKH} = 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$

Ta có $\widehat {MKI} = \widehat {MKH}( = 45^\circ )$.Vậy KM là tia phân giác góc HKI.