Cho hình bình hành \(ABCD\). Trên cạnh \(AD,BC\) lần lượt lấy điểm \(E,F\) sao cho \(AE = CF\). Trên cạnh \(AB,CD\) lần lượt lấy điểm \(M,N\) sao cho \(BM,DN\). Chứng minh:
a) Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành;
b) Bốn đường thẳng \(AC,BD,EF,MN\) cùng đi qua một điểm.
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành:
- Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
- Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC\) và \(AB = CD\); \(\widehat A = \widehat C\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\).
Mà \(AE = CF\) và \(BM = DN\), suy ra \(DE = BF\) và \(AM = CN\).
\(\Delta AEM = \Delta CFN\)(c.g.c). Suy ra \(EM = FN\)
\(\Delta BFM = \Delta DEN\)(c.g.c). Suy ra \(FM = EN\)
Tứ giác \(\EFMN\) có \(EM = FN\) và \(FM = EN\) nên \(EMFN\) là hình bình hành.
b) Tứ giác \(BMDN\) có \(BM = DN\) và \(BM//DN\) nên \(BMDN\) là hình bình hành.
Do \(ABCD,EMFN,BMDN\) đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy \(AC,BD,EF,MN\) cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.