Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại J và HK vuông góc với AC tại K. Trên tia HJ lấy điểm D sao cho DJ=JH. Trên tia HK lấy điểm E sao cho EK=KH.
a) Chứng minh A là trung điểm của DE.
b) Tứ giác AJHK là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh BC=BD+CE.
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành để chứng minh.
a) Xét ΔADJ vuông tại J và ΔAHJ vuông tại J có:
DJ=HJ (gt), AJ là cạnh chung
Do đó ΔADJ=ΔAHJ (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AD=AH (hai cạnh tương ứng) và ^JAD=^JAH (hai góc tương ứng)
Tương tự ta cũng chứng minh được ΔAHK=ΔAEk (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AH=AE (hai cạnh tương ứng) và ^KAH=^KAE (hai góc tương ứng)
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
^JAD+^JAH+^KAH+^KAE=2(^JAH+^KAH)=2.^JAK=2.90∘=180∘
Hay ^DAE=180∘ nên ba điểm D,A,E thẳng hàng
Lại có AD=AH và AH=AE nên AD=AE
Do đó A là trung điểm của DE.
b) Ta có AB⊥HE tại K nên ^AJH=90∘
AC⊥HE tại K nên ^AKH=90∘
Xét tứ giác AJKH có:
^AJH=^JAK=^AKH=90∘ nên là hình chữ nhật.
c) Xét tam giác BDJ vuông tại J và tam giác BHJ vuông tại J có:
DJ=HJ (gt), BJ là cạnh chung
Do đó ΔBDJ=ΔBHJ (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BD=BH (hai cạnh tương ứng)
Tương tự, ta cũng có ΔCHK=ΔCEK (hai cạnh góc vuông)
Suy ra CH=CE (hai cạnh tương ứng)
Khi đó BC=BH+CH=BD+CE
Vậy BC=BD+CE.