Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,AD
a) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.
b) Gọi P là giao điểm của AM và BN,Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.
c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.
d) Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB=2cm,^MAD=30∘.
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông để chứng minh.
a) Do ABCD là hình bình hành nên BC//AD và BC=AD
Mà M∈BC,N∈AD nên MB//ND
Lại có M,N lần lượt là trung điểm của BC,AD nên MB=MC=12BC,NA=ND=12A
Do đó MB=MC=NA=ND
Tứ goác MBND có MB//ND và MB=ND nên là hình bình hành.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.
Do MBND,MANC đều là hình bình hành nên PN//MQ,PM//NQ. Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.
ΔABN=ΔMBN (c.g.c). Suy ra AB=MN.
Tứ giác ABMN có AB=BM−MN=AN nên ABMN là hình thoi. Suy ra AM⊥Bn
Advertisements (Quảng cáo)
Hình bình hành PMQN có ^MPN=90∘ nên PMQN là hình chữ nhật.
c) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM=PN.
Mà ABMN là hình thoi nên ABMN là hình bình hành. Suy ra AM,BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường. mà PM=PN, suy ra AM=BN.
Hình bình hành ABMN có AM=BN nên ABMN là hình chữ nhật
Suy ra ^ABM=90∘ hay ^ABC=90∘
Hình bình hành ABCD có ^ABC=90∘ nên ABCD là hình chữ nhật.
Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC=2AB thì PMQN là hình vuông.
Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC=2AB.
d) Ta có: BM=AB nên BM=2cm
Do ABMN là hình thoi nên AM là tia phân giác của ^BAN
Suy ra ^BAN=2^MAD=60∘
Tam giác ABN có AB=AN và ^BAN=60∘ nên tam giác ABN đều.
Suy ra BN=AN=AB=2cm
Do P là trung điểm của BN nên BP=NP=BN2=1cm
Trong tam giác BMP vuông tại P, ta có: BM2=BP2+MP2
Suy ra MP2=BM2−BP2=3. Do đó MP=√3 cm
Do PMQN là hình chữ nhật nên diện tích của PMQN là:
MP.NP=√3.1=√3(cm2).