Cho hình thang cân ABCD có AB//CD,ˆD=45∘. Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE=DH.
a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
b) Đường thẳng qua D song song với AE cắt AH tại F. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của hình thang cân ABCD để E là trung điểm của BF (bỏ qua giả thiết ˆD=45∘).
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình thang cân, hình chữ nhật hình bình hành hình thoi để chứng minh.
a) ΔADH=ΔAEH (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra AD=AE (hai cạnh tương ứng)
\RightarrrowΔADE cân tại A. ⇒^ADE=widehatAED=450
Mà ABCD là hình thang cân nên \widehat{ADE} = widehat{C}\)
⇒ˆC=widehatAED=450. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra AE // BC
Xét tứ giác ABCE, ta có:
AE//BC
Vì AD=AE mà AD=BC nên AE=BC
Vậy tứ giác ABCE là hình bình hành.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Xét tam giác AHE và FHD, ta có:
^AEH=^FDH (so le trong); ^AHE=^FHD=90∘; DH=HE
Suy ra ΔAHE=ΔDHD (g.c.g)
Suy ra AH=HF
Xét tứ giác ADEF, ta có:
HD=HE;HA=HF
Mà AF⊥DE
Suy ra tứ giác ADEF là hình thoi.
c) Để E là trung điểm của BF thì BE=FE và ba điểm B,E,F thẳng hàng.
Khi bỏ qua giả thiết ^ADC=45∘ thì ta chứng minh được tứ giác ADEF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ADEF là hình bình hành.
Do ABCE và ADEF đều là hình bình hành nên AE=BC,AE//BC và AE=DF.AE//DF
Suy ra BC=DF và BC//DF
Tứ giác BCFD có BC=DF và BC//DF nên BCFD là hình bình hành.
Mà E là trung điểm của BF, suy ra E là trung điểm của CD hay EC=ED=12CD.
Mặt khác, AB=EC (vì ABCE là hình bình hành), suy ra AB=12CD
Dễ thấy nếu hình thang cân ABCD(AB//CD) có AB=12CD thì E là trung điểm của BF.
Vậy điều kiện của hình thang cân ABCD(AB//CD) để E là trung điểm của BF là AB=12CD.