Trang chủ Lớp 8 SBT Toán 8 - Cánh diều Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho hình...

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E...

Dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để chứng minh. Giải và trình bày phương pháp giải bài 44 trang 104 sách bài tập (SBT) toán 8 - Cánh diều - Bài tập cuối chương V. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E,...

Question - Câu hỏi/Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E,MF vuông góc với AD tại F.

a) Chứng minh: DE=CF;DECF.

b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để chứng minh.

Answer - Lời giải/Đáp án

Gọi H là giao điểm của DECF, K là giao điểm của CMEF.

Do ABCD là hình vuông nên ta có:

^DAB=90,CD=DA,^ADB=^ABD=^DBC=45

a) Ta chứng minh được tam giác FDM vuông cân tại F.

Suy ra FM=DF

Tứ giác AEMF^MFA=^FAE=^AEM=90 nên AEMF là hình chữ nhật. Suy ra AE=FM.

Advertisements (Quảng cáo)

Do đó AE=DF (vì cùng bằng FM)

ΔADE=ΔDCF (c.g.c). Suy ra DE=CF, ^AED=^DFC.

Trong tam giác ADE vuông tại A, ta có: ^AED+^ADE=90

Suy ra ^DFC+^ADE=90 hay ^DFH+^FHD=90. Từ đó ta tính được ^DHF=90. Vậy DECF.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được BFCE.

ΔABM=ΔCBM (c.g.c). Suy ra AM=CM. Mà EF=AM (vì AEMF là hình chữ nhật) suy ra EF=CM.

ΔDEF=ΔFCM (c.c.c). Suy ra ^DEF=^FCM hay ^FEH=^FCK

Trong tam giác HEF vuông tại H, ta có ^FEH+^EFH=90

Suy ra ^FCK+^EFH=90 hay ^FCK+^KFC=90. Từ đó, ta tính được ^CKF=90. Do đó, CKEF.

Trong tam giác CEF, ta có: DECF,BFCE,CMEF nên ba đường thẳng DE,BF,CM là các đường cao của tam giác CEF. Vậy ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE+AF)=2(DF+AF)=2AD

AD không đổi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông. Suy ra ME=MF.

Khi đó ΔBEM=ΔDFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra BM=DM hay M là trung điểm của BC

Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Advertisements (Quảng cáo)