Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E,MF vuông góc với AD tại F.
a) Chứng minh: DE=CF;DE⊥CF.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.
c) Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.
Dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để chứng minh.
Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF.
Do ABCD là hình vuông nên ta có:
^DAB=90∘,CD=DA,^ADB=^ABD=^DBC=45∘
a) Ta chứng minh được tam giác FDM vuông cân tại F.
Suy ra FM=DF
Tứ giác AEMF có ^MFA=^FAE=^AEM=90∘ nên AEMF là hình chữ nhật. Suy ra AE=FM.
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó AE=DF (vì cùng bằng FM)
ΔADE=ΔDCF (c.g.c). Suy ra DE=CF, ^AED=^DFC.
Trong tam giác ADE vuông tại A, ta có: ^AED+^ADE=90∘
Suy ra ^DFC+^ADE=90∘ hay ^DFH+^FHD=90∘. Từ đó ta tính được ^DHF=90∘. Vậy DE⊥CF.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được BF⊥CE.
ΔABM=ΔCBM (c.g.c). Suy ra AM=CM. Mà EF=AM (vì AEMF là hình chữ nhật) suy ra EF=CM.
ΔDEF=ΔFCM (c.c.c). Suy ra ^DEF=^FCM hay ^FEH=^FCK
Trong tam giác HEF vuông tại H, ta có ^FEH+^EFH=90∘
Suy ra ^FCK+^EFH=90∘ hay ^FCK+^KFC=90∘. Từ đó, ta tính được ^CKF=90∘. Do đó, CK⊥EF.
Trong tam giác CEF, ta có: DE⊥CF,BF⊥CE,CM⊥EF nên ba đường thẳng DE,BF,CM là các đường cao của tam giác CEF. Vậy ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.
c) Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE+AF)=2(DF+AF)=2AD
Mà AD không đổi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông. Suy ra ME=MF.
Khi đó ΔBEM=ΔDFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra BM=DM hay M là trung điểm của BC
Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.