Chứng minh biểu thức B=x5−15x2−x+5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên x
Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung
Trước hết, ta chứng minh x5−x⋮5
Ta có: x5−x=x(x4−1)=x(x2−1)(x2+1)=x(x−1)(x+1)(x2+1)
Nếu x=5k thì x⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x5−x⋮5
Nếu x=5k+1 thì x−1=5k⋮5
Advertisements (Quảng cáo)
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Nếu x=5k+2 thì x2+1=(5k+2)2+1=25k2+20k+5⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Nếu x=5k+3 thì x2+1=(5k+3)2+1=25k2+30k+10⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Nếu x=5k+4 thì x+1=5k+5⋮5
Khi đó x(x−1)(x+1)(x2+1)⋮5 hay x2−x⋮5
Do đó x5−x⋮5 với mọi số nguyên x
Ta có: x5−x⋮5;15x2⋮5;5⋮5 nên x5−15x2−x+5⋮5 với mọi số nguyênx.
Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.