Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm.
a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.
b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:
AC = BD (1)
Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:
AC = BD (chứng minh trên )
AD = BC (ABCD cân)
CD cạnh chung
Suy ra: ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)
Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\)
Hay \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)
Suy ra tam giác OCD cân tại O
Suy ra: (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB
Advertisements (Quảng cáo)
Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO
Trong tam giác OCD, ta có: \({{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\)
Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )
Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM
Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD
Suy ra: \({{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\)
Suy ra: \(MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\) (cm)
Ta có: MB = MD (gt)
Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM
Lại có: AB // CD (gt), suy ra: MN // AB
Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB
Suy ra: \({{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\)
Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 (cm)
b. Ta có: \({{CD - AB} \over 2} = {{5,6 - 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2} = 1,4\) (cm)
Vậy MN\( = {{CD - AB} \over 2}\)