Câu 2.3 trang 86 Sách bài tập Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng:...

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:

a. ${{OM} \over {ON}} = {{AB} \over {CD}}$

b. ${{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}$

a. Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

${{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}$  hay ${{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}$

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

${{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} = {{AB} \over {CD}}$

b. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

${S_{AEO}} = {S_{BFO}}$ (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

${S_{DEO}} = {S_{CFO}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

${S_{OAD}} = {S_{OBC}}$  (3)

Suy ra: $OH.AD = OK.BC \Leftrightarrow {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}$