Câu 122 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là...

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

a. Chứng minh rằng AH = DE.

b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK

Giải:                                                                   

a. Xét tứ giác ADHE:

$\widehat A = {90^0}$ (gt)

$\widehat {ADH} = {90^0}$ (vì HD ⊥ AB)

$\widehat {AEH} = {90^0}$ (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

b. ∆ BHD vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

⇒ DI = IB = ${1 \over 2}$ BH (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ IDB cân tại I $\Rightarrow \widehat {DIB} = {{{{180}^0} - \widehat B} \over 2}$ (1)

∆ HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC

⇒ EK = KH = ${1 \over 2}$HC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ KHE cân tại K $\Rightarrow \widehat {EKH} = {{{{180}^0} - \widehat {KHE}} \over 2}$ (2)

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

⇒ HE // AD hay HE // AB

 ⇒ $\widehat B = \widehat {KHE}$ (đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat {DIB} = \widehat {EKH}$

⇒ DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).