Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:
a. MN// AB;
b. \(MN = {{CD - AB} \over 2}\)
Giải:
a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM.
Trong tam giác DAB, ta có:
\({{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \({{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\)
Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Trong tam giác ACD, ta có: \({{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \({{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\)
Suy ra: PN // CD ( Định lí đảo định lí Ta-lét) (2)
Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.
Vậy MN // CD hay MN // AB.
b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:
\(PM = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên:
\(PN = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Mà PN = PM + MN
Suy ra: MN = PN – PM = \({{CD} \over 2} - {{AB} \over 2} = {{CD - AB} \over 2}\)