Câu 42 trang 13 SBT Toán 8 tập 2: Cho phương trình ẩn:...

Cho phương trình ẩn:

${{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}$

a. Giải phương trình với a = -3

b. Giải phương trình với a = 1

c. Giải phương trình với a = 0

d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận $x = {1 \over 2}$ làm nghiệm.

a. Khi a = -3, ta có phương trình:

${{x - 3} \over { - 3 - x}} + {{x + 3} \over { - 3 + x}} = {{ - 3\left[ {3\left( { - 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { - 3} \right)}^2} - {x^2}}}$                       ĐKXĐ: $x \ne  \pm 3$

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = {{24} \over {9 - {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} - {{x + 3} \over {x - 3}} =  - {{24} \over {{x^2} - 9}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} - {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} =  - {{24} \over {{x^2} - 9}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x + 3} \right)^3} =  - 24  \cr  &  \Leftrightarrow 3x - 9 - {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 =  - 24  \cr  &  \Leftrightarrow 12x =  - 24 \cr}$

$\Leftrightarrow x =  - 2$ (thỏa)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -2

b. Khi a = 1, ta có phương trình:

${{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} - {x^2}}}$                       ĐKXĐ: $x \ne  \pm 1$

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 - {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 - {x^2}}} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {1 - {x^2}}} = {4 \over {1 - {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 4  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x - {x^2} - 1 + x = 4  \cr  &  \Leftrightarrow 4x = 4 \cr}$

$\Leftrightarrow x = 1$ (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

c. Khi a = 0, ta có phương trình: ${x \over { - x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}$                      

ĐKXĐ: $x \ne 0$

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{ - {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow  - {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr}$

Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của $x \ne 0$

 Vậy phương trình có nghiệm $x \in R/x \ne 0$

d. Thay $x = {1 \over 2}$ vào phương trình, ta có:

${{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}$                        ĐKXĐ: $x \ne  \pm {1 \over 2}$

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {1 \over 4}}}  \cr &  \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a - 1}} + {{1 - 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} + {{\left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a - 1 - 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a  \cr  &  \Leftrightarrow 12{a^2} - 4a = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4a\left( {3a - 1} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow 4a = 0$ hoặc $3a - 1 = 0$  

$\Leftrightarrow a = 0$ (thỏa) hoặc $a = {1 \over 3}$ (thỏa)

Vậy khi a = 0 hoặc $a = {1 \over 3}$ thì phương trình ${{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}$ nhận $x = {1 \over 2}$ làm nghiệm.