Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập Toán 8 tập 2: Giải các phương trình...

Giải các phương trình

a. ${2 \over {x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}}}} = {6 \over {3x - 1}}$

b. ${{{{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}}} \over {1 + {{x + 1} \over {x - 1}}}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}$

c. ${5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}$

a. Ta có: $x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}} = x + {{x - 2} \over {2x - 1}} = {{2\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2x - 1}}$

ĐKXĐ của phương trình là $x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne  \pm 1,x \ne {1 \over 3}$. Ta biến đổi phương trình đã cho thành

${{2x - 1} \over {{x^2} - 1}} = {6 \over {3x - 1}}$. Khử mẫu và rút gọn:

$\eqalign{  & \left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow  - 5x + 1 =  - 6  \cr  &  \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr}$

Giá trị $x = {7 \over 5}$ thỏa mãn ĐKXĐ.  Vậy phương trình có nghiệm là $x = {7 \over 5}$

b. Cách 1. ĐKXĐ: $x \ne  \pm 1$. Biến đổi vế trái thành ${{4x} \over {{x^2} - 1}}.{{x - 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}$, ta đưa phương trình đã cho về dạng ${2 \over {x + 1}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}$.

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

$\eqalign{  & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = 5$

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt ${{x + 1} \over {x - 1}} = y$, ta có phương trình ${{y - {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}$. ĐKXĐ của phương trình này là $y \ne 0$ và $y \ne  - 1$. Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

$\eqalign{  & 2{y^2} - 2 = 1 + y  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y - 3} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow y =  - 1$ hoặc $y = {3 \over 2}$

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có $y = {3 \over 2}$ là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình ${{x + 1} \over {x - 1}} = {3 \over 2}$

Giải phương trình này ta được x = 5

c. ĐKXĐ: $x \in \left\{ {0; - 1; - 2; - 3} \right\}$. Ta biến đổi phương trình như sau:

$\eqalign{  & {5 \over x} + {2 \over {x + 3}} = {4 \over {x + 1}} + {3 \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) = \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) + \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 3}} = {{5 + x} \over {x + 1}} + {{5 + x} \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {{1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}}} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 5 + x = 0(1) \cr}$

hoặc ${1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} = 0$  (2)

Ta có:

(1) $\Leftrightarrow x =  - 5$

(2) $\eqalign{  &  \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow 2x + 3 = 0$ hoặc ${1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0$

+ $2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - {3 \over 2}$

+ ${1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0$. Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = $\left\{ { - 5; - {3 \over 2}} \right\}$