Câu 51 trang 97 Sách bài tập Toán 8 tập 2: Vẽ đoạn thẳng MN. Hỏi rằng hai đường thẳng MN và BC có song song với...

Cho tam giác ABC.

a. Tìm trên cạnh AB điểm M sao cho ${{AM} \over {MB}} = {2 \over 3}$; tìm trên cạnh AC điểm N sao cho ${{AN} \over {NC}} = {2 \over 3}$

b. Vẽ đoạn thẳng MN. Hỏi rằng hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không ? Vì sao ?

c. Cho biết chu vi và diện tích tam giác ABC thứ tự là P và S. Tính chu vi và diện tích tam giác AMN.

a. Cách vẽ:

- Kẻ tia Ax bất kì khác tia AB, AC.

- Trên tia Ax, lấy hai điểm E và F sao cho AE = 2 (đvd), EF = 3 (đvd)

- Kẻ đường thẳng FB.

- Từ E kẻ đường thẳng song song với FB cắt AB tại M

- Kẻ đường thẳng FC

- Từ E kẻ đường thẳng song song với FC cắt AC tại N

Ta có M, N là hai điểm cần vẽ.

Chứng minh:

Trong tam giác AFB, ta có: EM // FB

Theo Định lí Ta-lét, ta có:

${{AM} \over {MB}} = {{AE} \over {EF}} = {2 \over 3}$

Trong tam giác AFC, ta có: EN // FC

Theo Định lí Ta-lét, ta có:

${{AN} \over {NB}} = {{AE} \over {EF}} = {2 \over 3}$

Vậy M, N là hai điểm cần tìm.

b. Trong tam giác ABC, ta có: ${{AM} \over {MB}} = {{AN} \over {NC}} = {2 \over 3}$

Suy ra: MN // BC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét)

c. Gọi p’ và S’ là chu vi và diện tích của ∆ AMN

Trong tam giác ABC, ta có: MN // BC

Suy ra: ∆ AMN đồng dạng ∆ ABC

Theo tính chất hai tam giác đồng dạng ta có:

$\eqalign{  & {{p’} \over p} = {2 \over 3} = k \Rightarrow p’ = {2 \over 3}p  \cr  & {{S’} \over S} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^2} = {4 \over 9} = {k^2} \Rightarrow S’ = {4 \over 9}S \cr}$