Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\).Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC (h.39)
Chứng minh rằng :
a. ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC
b. ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC
c. EA.ED = EB.EC
Giải:
(hình 39 trang 97 sbt)
a. Xét ∆ AOB và ∆ DOC, ta có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)(gt)
Hay \(\widehat {ABO} = \widehat {OCD}\)
\(\widehat {AOB} = \widehat {DOC}\) (đối đỉnh)
Vậy ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC (g.g)
b. Vì ∆ AOB đồng dạng ∆ DOC nên:
Advertisements (Quảng cáo)
\({{AO} \over {DO}} = {{OB} \over {OC}} \Rightarrow {{AO} \over {OB}} = {{DO} \over {OC}}\)
Xét ∆ AOD và ∆ BOC, ta có:
\({{AO} \over {OB}} = {{DO} \over {OC}}\)
\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)
Vậy ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC (c.g.c)
c. Vì ∆ AOD đồng dạng ∆ BOC nên:
\(\widehat {ADO} = \widehat {BCO}\)
hay \(\widehat {EDB} = \widehat {ECA}\)
Xét ∆ EDB và ∆ ECA, ta có:
\(\widehat E\) chung
\(\widehat {EDB} = \widehat {ECA}\) (chứng minh trên )
Vậy ∆ EDB đồng dạng ∆ ECA (g.g)
Suy ra: \({{ED} \over {EC}} = {{EB} \over {EA}} \Rightarrow ED.EA = EC.EB\)