Câu 64 trang 41 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng...

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a. ${{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}$

b. ${{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}$

c. ${1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)$

d. $\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}$

a.  ${{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}$

Ta có: $x - {1 \over x}$ xác định khi x ≠ 0

${{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}$ xác định khi x ≠ 0

$\eqalign{  & {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0 \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0 \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0  \cr  &  \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1;x \ne 1 \cr}$

Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.

${{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}$$= {{{{{x^2} - 1} \over x}} \over {{{{x^2} - 1} \over x}}} = {{{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1$

b.  ${{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}$

Ta có: ${x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}$ xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ $x \ne  \pm 1$

${{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}$ xác định khi x – 1 ≠ 0 và ${x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne  \pm 1$

${{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0 \Rightarrow {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0$

$\Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0 \Rightarrow {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ne 0$ mọi x

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1

${{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}$$= {{{{x\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \over {{{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}} = {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {1 \over 2}$

c. ${1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)$

Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, ${x^2} - 2x + 1 \ne 0$và ${x^2} - 1 \ne 0$

$\eqalign{  & x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1  \cr  & {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 1  \cr  & {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1;x \ne 1 \cr}$

Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1

Ta có: ${1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)$

$\eqalign{  &  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]  \cr  &  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}  \cr  &  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + x - x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}}  \cr  &  = {{ - \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} =  - 1 \cr}$

d. $\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}$

Biểu thức xác định khi

$\eqalign{  & {x^2} - 36 \ne 0,{x^2} + 6x \ne 0,6 - x \ne 0,2x - 6 \ne 0  \cr  & {x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 6;x \ne  - 6  \cr  & {x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0;x \ne  - 6  \cr  & 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6  \cr  & 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \cr}$

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.

Ta có : $\left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}$

$\eqalign{  &  = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} - {{x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]:{{2x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 - x}}  \cr  &  = {{{x^2} - {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}}  \cr  &  = {{12\left( {x - 3} \right)} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}} = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left( {x - 6} \right)} \over {x - 6}} =  - 1 \cr}$