Advertisements (Quảng cáo)
Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x = – a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi\(x = – a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng b khi\(x = – a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
\({{{x^2}} \over {x – 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} – 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
\({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 – {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) – {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
a. \({{{x^2}} \over {x – 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} – 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) )
\(\eqalign{ & = {{{x^2}} \over {x – 2}}.{{{x^2} + 4 – 4x} \over x} + 3 = {{{x^2}} \over {x – 2}}.{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \over x} + 3 \cr & = x\left( {x – 2} \right) + 3 = {x^2} – 2x + 1 + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \cr} \)
Ta có: \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của x
nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi \(x = 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(x = 1\) thỏa mãn điều kiện
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(x = 1\)
b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 – {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) – {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne – 2\))
\(\eqalign{ & = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 – {x^2}} \over {x + 2}} – {{{x^2} + 6x + 4} \over x} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 – {x^2}} \right)} \over x} – {{{x^2} + 6x + 4} \over x} \cr & = {{{x^2} + 2x – {x^3} + 2x + 4 – 2{x^2} – {x^2} – 6x – 4} \over x} = {{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x} \over x} \cr & = {{ – x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x} = – \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = – \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right] \cr & = – \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] = – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \cr & {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \le – 1 \cr} \)
nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = – 1
x = – 1 thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = – 1
Mục lục môn Toán 8 (SBT)