Câu 66 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1: Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức...

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ${\left( {a + b} \right)^2} + c$ và ${\left( {a - b} \right)^2} + c$ đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

${{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}$ luôn luôn có giá trị dương;

b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :

${{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}$ luôn luôn có giá trị âm.

a. ${{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}$ điều kiện $x \ne 1$ và $x \ne  - 1$

$\eqalign{  &  = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}  \cr  &  = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}  \cr  &  = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr}$

Biểu thức dương khi ${x^2} + 2x + 3 > 0$ ta có : ${x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0$ với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị $x \ne  - 1$ và $x \ne 1$

b. ${{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}$ điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne  - 3$

$\eqalign{  &  = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}  \cr  &  = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}  \cr  &  = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}}  \cr  &  = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}}  \cr  &  = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x - 3}}  \cr  &  =  - {x^2} + 4x - 5 =  - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \cr}$

Vì ${x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0$ với mọi giá trị của x

nên $- \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0$ với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị $x \ne 0$và $x \ne  - 3$